次のようなコードで自己解決しました。
お騒がせしてすみませんでした。
  Private Sub onBinaryLoad(ByVal sender As Object, ByVal e As OpenReadCompletedEventArgs)
        If Not (e.[Error] IsNot Nothing) OrElse (e.Cancelled) Then
            DirectCast(Me.Controls.Find("TextBox" & e.UserState, True).First, TextBox).Text = New StreamReader(e.Result).ReadToEnd
        End If
    End Sub
    Private Sub Button1_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles Button1.Click
        ServicePointManager.DefaultConnectionLimit = 8
        Dim 変数Max As Integer = 16
        Dim WcList As New List(Of WebClient)
        For i = 1 To 変数Max
            Dim TmpWc = New WebClient
            WcList.Add(TmpWc)
            AddHandler TmpWc.OpenReadCompleted, AddressOf onBinaryLoad
            TmpWc.OpenReadAsync(New Uri("https:XXXX&page=" & i), i)
        Next
        Do
            Application.DoEvents()
        Loop Until WcList.All(Function(n) n.IsBusy = False)
    End Sub

Hongliang 様
ご指南有難う御座います。
取得できました。

ところが・・・
別スレッドで動いていると思っていたのですが、IDをとったところ
Nothingとなってしまいます。
パターン�A
 Private Async Sub Button2_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles Button2.Click
        'Run(Func<Task>)
        'Public Shared Function Run(function As Func(Of Task)) As Task
        '↓Dim proc_inl As Func(Of Task)
        Dim proc_inl =
            Async Function()
                Await Task.Delay(100) '0.5秒待つ
                Debug.Print($"別Task�A：{Task.CurrentId}")
            End Function
        Await Task.Run(proc_inl)
    End Sub

パターン�C
  Private Async Sub Button4_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles Button4.Click
        'Run<TResult>(Func<Task<TResult>>)
        'Public Shared Function Run(Of TResult)(function As Func(Of Task(Of TResult))) As Task(Of TResult)
        '↓Dim proc_inl As Func(Of Task(Of String))
        Dim proc_inl =
            Async Function()
                Await Task.Delay(100) '0.5秒待つ
                Debug.Print($"別Task�C：{Task.CurrentId}")
                Return "終わり�C"
            End Function
        Debug.Print(Await Task.Run(proc_inl))
    End Sub

また、パターン�Bの場合は、別スレッドとなりますが、Await Task.Runが使えないようです。
   Private Async Sub Button3_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles Button3.Click
        'Run<TResult>(Func<TResult>)
        'Public Shared Function Run(Of TResult) (function As Func(Of TResult)) As Task(Of TResult)
        '↓ Dim Tasks As Task(Of String)
        Dim proc_inl = New Task(Of String)(
           Function() As String
               Task.Delay(100) '0.5秒待つ
               Debug.Print($"別Task�B：{Task.CurrentId}")
               Return "終わり�B"
           End Function)
        proc_inl.Start()
        Debug.Print(Await proc_inl) 'Resultは、内部的にAwaitを呼び出している
    End Sub