早速の返信ありがとうございます。
おかげさまで以下のコードで実現できて助かりました。
これから少しづつ学んでいこうと思います。
ありがとうございました。

        Using p As New Process
            p.StartInfo.FileName = Environment.GetEnvironmentVariable("ComSpec")
            p.StartInfo.UseShellExecute = False
            p.StartInfo.RedirectStandardOutput = True
            p.StartInfo.RedirectStandardInput = False
            p.StartInfo.CreateNoWindow = True
            p.StartInfo.Arguments = "/c ping 127.0.0.1"
            p.Start()
            Dim reader = p.StandardOutput
            Do Until reader.EndOfStream
                Dim buffer = reader.ReadLine()
                '以下3行を追加
                Debug.Print(buffer)
                TextBox1.Text = TextBox1.Text & vbCrLf & buffer
                Me.Refresh()
            Loop
            p.WaitForExit()
        End Using